人是如何从图片寻物的？
- 位置不重要；特征才是决定因素
- 聚焦式注意力：自动忽略背景
两个原则
- 平移不变性：位置无关；相似的区域激活相似的数值
- 例如：下图中俩个窗口内都有眼镜
- 局部性：操作限制在小的局部窗口内
全连接的计算
类比（全连接）线性模型：输入、输出是矩阵
- 横（宽）、纵（高）两个维度
\begin{aligned} o_i &= w^k x_k\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \mathbf{H}_{i,j} &= \mathbf{W}_{i,j}^{k,l} \mathbf{X}_{k,l}\\ \end{aligned}
重新索引以适配局部窗口：k = i+a, l = j+b
- 以(i,j)为中心的加权和：\mathbf{H}_{i,j} = \mathbf{W}_{i,j}^{k,l} \mathbf{X}_{k,l} = \mathbf{W}_{i,j}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b}
- (a,b)：即是偏移量，也是窗口索引
原则I：平移不变性
检测对象在输入空间平移，输出不变
- 参数\mathbf{W}不应该依赖于位置(i,j)
- \mathbf{H}_{i,j} = \mathbf{W}_{i,j}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b}
只可能是：\mathbf{W}_{i,j}^{a,b} = \mathbf{V}^{a,b}
- 每个窗口索引(a,b)上都是常数
- 因此：\mathbf{H}_{i,j} = \mathbf{W}_{i,j}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b} = \mathbf{V}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b}
这就是卷积 convolution交叉相关操作
注意：从\mathbf{W}_{i,j}^{a,b}到\mathbf{V}^{a,b}参数量极大减少
原则II：局部性
检测区域仅限于输入空间中的局部窗口
- 远离位置(i,j)的参数\mathbf{V}不参与计算
解决方案：|a|,|b|>\Delta \Rightarrow \mathbf{V}^{a,b} = 0
\begin{aligned} \mathbf{H}_{i,j} &= \sum_{a,b= -\Delta}^\Delta \mathbf{V}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b} \end{aligned}
\mathbf{V}^{a,b}被称为卷积核 convolution kernel或者滤波器 filter
- 即模型可学习的参数、权重
注意：参数量再次大幅减少
小结：卷积计算
\begin{aligned} \mathbf{H}_{i,j} & = \mathbf{W}_{i,j}^{k,l} \mathbf{X}_{k,l}\\ &= \mathbf{W}_{i,j}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b}\\ &\approx \mathbf{V}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b}\\ \mathbf{H}_{i,j} &\approx \sum_{a,b= -\Delta}^\Delta \mathbf{V}^{a,b} \mathbf{X}_{i+a,j+b} \end{aligned}
问题：局部观察无法获取覆盖范围较大的特征
卷积运算图解
图像上的卷积运算
二维卷积层
\mathbf{Y} = \mathbf{X} \star \mathbf{W} + b
- \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n_h \times n_w}, \mathbf{W} \in \mathbb{R}^{k_h \times k_w}, b \in \mathbb{R}
注意：输出尺寸略小于输入尺寸
- \mathbf{Y}: (n_h - k_h + 1) \times (n_w - k_w + 1)
多层卷积
应用卷积层：图像缩小，但核大小一般不变
- 输出\mathbf{Y}变小: (n_h - k_h + 1) \times (n_w - k_w + 1)
- 可以看成观察窗口中的特征提取和信息融合
例如：28x28的图片，5x5的卷积核
- 第1层：24x24
- 第6层：4x4 < 核的大小
- 5x5窗口：覆盖图像的全部信息
回顾：局部观察无法获取覆盖范围较大的特征？
- 最高层：融合整张图片的信息
- 小窗口也能观察到全局信息
特征映射、感受野
应用卷积层：图像缩小，但核大小一般不变
- 可以看成观察窗口中的特征提取和信息融合
- 最高层：融合整张图片的信息
想象：用显微镜观察目标；“站得高看得远”
特征映射 feature map：特征提取的过程（或结果）
- 每个层将输入映射为下一个特征空间中的表示
感受野 receptive field：信息融合的范围
- 可能影响当前层中某元素计算依赖的所有先前层的元素
美颜：图像过滤
\begin{bmatrix} \ \ 0 & -1 & \ \ 0 \\ -1 & \ \ 5 & -1 \\ \ \ 0 & -1 & \ \ 0 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & \ \ 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix}
\frac{1}{16} \begin{bmatrix} \ \ 1 &\ \ 2 &\ \ 1 \\ \ \ 2 &\ \ 4 &\ \ 2 \\ \ \ 1 &\ \ 2 &\ \ 1 \\ \end{bmatrix}
拓展：卷积、交叉相关
拓展：卷积、交叉相关计算
区别：数学概念的约定俗成
填充
应用卷积层：图像缩小，但核大小一般不变
- 输出\mathbf{Y}变小: (n_h - k_h + 1) \times (n_w - k_w + 1)
- 可以看成观察窗口中的特征提取和信息融合
填充：在图像周边添加额外的行/列
- 输出\mathbf{Y}：不一定缩小
填充：计算
假设填充p_h行、p_w列：两边同时填充，总数是p_h,p_w
- \mathbf{Y}: (n_h - k_h + p_h + 1) \times (n_w - k_w + p_w + 1)
- 注意：卷积核大小通常是奇数，图只是示例
通常填充用于保持图像大小不变
- 计算得出：p_h = k_h - 1, p_w = k_w - 1
步幅
应用卷积层：图像缩小，但核大小一般不变
- 输出\mathbf{Y}变小: (n_h - k_h + 1) \times (n_w - k_w + 1)
- 可以看成观察窗口中的特征提取和信息融合
注意：图像缩小量是层数的线性函数
- 例如：224x224的图片，5x5的卷积核
- 需要55层才能缩到4x4
层数越多：模型越复杂，计算量越大
- 大多数实际问题不需要像素级分辨能力：无效计算
- 例如：拍摄时手抖，偏移1个像素
- 需要快速缩小窗口的方法
步幅：计算
步幅：卷积核在行/列上每次滑动的位移量
- 例如：纵向3、横向2的步幅
假设纵向、横向上的步幅分别是s_h、s_w
- \mathbf{Y}: \lfloor (n_h - k_h + p_h + 1)/s_h \rfloor \times \lfloor (n_w - k_w + p_w + 1)/s_w \rfloor
彩色图片上的卷积
彩色图片有多个通道，即特征：颜色是最常见的特征描述
- Jpeg：RGB；PNG：RGBA
- 转换为灰度值？三个通道的加权组合：丢失信息
回顾：图像上的卷积运算
彩色图片的多个通道
彩色图片有多个通道，即特征：颜色是最常见的特征描述
- 对每个通道分别处理：卷积核参数不同，但大小、位置相同
多输入通道：计算
每个通道应用一个卷积核
- 最终输出：所有处理之后的通道求和
- RGB图片本身也是三个颜色混合而成
\mathbf{Y} = \sum_{k=0}^{c_i} \mathbf{X}_{k,:,:} \star \mathbf{W}_{k,:,:}
多输出通道
通道：特征映射；卷积核作用于每个通道，得到激活值
卷积核：可识别的模式
激活值：模式的匹配度
- 也有无效激活：背景
1x1 卷积层
1x1 卷积：不识别模式，只融合通道
- 相当于全连接：每个像素的通道维度上可以看成感知机
- 输入：n_hn_w \times c_i；权重（卷积核）：c_o \times c_i
池化
池化 pooling：为固定形状窗口计算输出
没有可学习参数
遍历输入的所有位置
一般来说：最大池化对检测、识别类任务更有效
回顾：从全连接到卷积
回顾：MLP用于Fashion-MNIST数据集
- 首先将28x28的图像展平为784维向量
卷积：直接在二维图像空间操作
- 模型更简洁、参数（计算量）更少
- 保留空间结构：识别二维模式
- 例如Logo、袖长
手写数字识别
LeNet：最早的、能够高效解决实际工业问题的卷积神经网络
- 邮政、银行：识别手写数字
- 当前：所有计算机视觉任务的基础解决方案
- Yann LeCun：2018年Turing机获得者之一
MNIST数据集
- 5万个训练数据
- 1万个测试数据
- 图像大小：28x28
- 10个类
LeNet：演示
LeNet：架构
LeNet（LeNet-5）由两个部分组成：
- 卷积编码器：由两个卷积模块组成
- 每个卷积层紧接2倍下采样：“浓缩信息”
- 全连接模块：由三个全连接层组成
- 将编码逐步转换成输出格式
LeNet：架构 I
LeNet（LeNet-5）由两个部分组成：先看卷积层
- 卷积编码器：由两个卷积层组成
- 学习（映射到二维）特征空间表示
- 逐步缩小特征映射、增加通道数量
- 5x5卷积核、sigmoid激活、平均池化
- ReLU和最大池化的研究当时还没出现
- 学习（映射到二维）特征空间表示
LeNet：架构 II
LeNet（LeNet-5）由两个部分组成：再看全连接层
- 卷积编码器：由两个卷积层组成
- 全连接模块：由三个全连接层组成
- 逐步降维到类别空间表示
- 首先展平成向量
- 逐步降维：防止出现“信息瓶颈”
- 逐步降维到类别空间表示